Escalonamento de Matriz

Sistemas Lineares na forma Matricial - Escalonamento

Exercícios resolvidos passo-a-passo, matéria da grade curricular do curso de Engenharia Mecânica.

Caso tenha dificuldade com a matéria leia nossa publicação abordando o tema Sistemas Lineares.

Exemplo 1:

x+y+z=100

y+2z=40

3z=30

Neste caso são 3 incógnitas e 3 equações.

Vamos reescrever o sistema na formal matricial (matriz).

A.x=B

1) Matriz dos coeficientes (A)

2) Matriz de variáveis (x), matriz transposta de [x y z]

3) Matriz dos termos independentes (B)

Escalonamento de Matriz

Operações elementares sobre linhas de uma matriz.

Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula.

Trocar ou permutar: podemos trocar dois linhas inteiras entre si.

Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a uma outra linha.

Regras de escalonamento:

1) O primeiro número  da primeira linha deve ser 1 (chamamos de pivô)

Pivô da primeira linha deve ser 1, para isso podemos realizar todas as operações elementares sobre linhas de matriz (multiplicar, permutar, somar/subtrair).

2) Cada coluna que contém o pivô tem sempre 0 nas demais entradas.

Nesta imagem todos os números circulador em vermelho são os pivôs de cada linha, somente na primeira linha é necessário que o pivô seja o número 1.

Os números circulados em azul são os números que ficam abaixo dos pivôs de cada coluna, estes números devem ser sempre 0.

Há somente um pivô em cada linha ou em cada coluna.

3) O pivô da linha inferior ocorre mais a direita o pivô da linha superior.

Exemplos de matrizes não escalonadas:

Como fazer o escalonamento.

Vamos organizar as linhas:

Linha 1:  1,-5,-3

Linha 2: -1,4,2

Linha 3: 0,3,2

Agora realizamos uma operação de soma entre duas linhas da matriz, ordenadamente somando os valores de da mesma coluna.

Nós precisamos alterar a Linha 2, pois o valor do número da Coluna 1 deve ser 0.

Linha 2(Nova)=  Linha 2 + Linha 1

Linha 2(coluna1)= (-1) + 1 = 0

Linha 2(coluna2)=   4 + (-5)= -1

Linha 2(coluna3)=   2 + (-3)= -1

Somando a Linha 2 com a Linha 1 temos: (0, -1, -1), estes serão os novos valores da Linha 2.

Agora só falta escalonar a Linha 3. Neste caso vamos multiplicar por 3 a Linha 2 e somar com a Linha 3.

Linha 3 (Nova)= Linha 3 + 3.Linha 2

Linha 3(coluna1)= 0+ 3.0=0
Linha 3(coluna2)= 3+ 3.(-1)=0
Linha 3(coluna3)= 2+ 3(-1)=-1

Agora caso o termo das variáveis fosse x, y e z, para continuar a resolução da equação linear teriamos a seguintes expressão.

x-5y-3z

   -y-z

       -z

Exercício resolvido:

Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:


(x+y+z=-1
(x+z+t=5
(y+z+t=7
(x+y+t=4


a) -1
b) 7
c) 5
d) 4
e) 5/9



Vamos transformar o sistema linear em uma matriz.

x+y+z=-1
x+z+t=5
y+z+t=7
x+y+t=4

Na forma matricial fica assim:

Para organizar melhor a matriz vamos fazer as seguintes alterações:
Permutar as linhas 2 e 3.

Agora faz fazer algumas operações entre as linhas da matriz.

Subtrair a linha 3 pela linha 1, o resultado será a nova linha 3.

Somar linha 3 com alinha 2

Subtrair linha 1 pela linha 4

Somar linha 4 com linha 3

Terminamos o escalonamento agora vamos voltar para a forma de equação linear.

x+y+z=-1
y+z+t=7
z+2t=13
3t=18

Agora vamos resolver:

Resposta C.